（2011•温州一模）如图1，矩形ABCD中，AB=21，AD=12，E是CD边上的一点，DE=16，M是BC边上的中点
（2011•温州一模）如图1，矩形ABCD中，AB=21，AD=12，E是CD边上的一点，DE=16，M是BC边上的中点，动点P从点A出发，沿边AB以每秒1单位长度的速度向终点B运动．设动点P的运动时间是t秒；
（1）求线段AE的长；
（2）当△ADE与△PBM相似时，求t的值；
（3）如图2，连接EP，过点P作PH⊥AE于H．
①当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值；
②以PE为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′，当线段B′C′与线段AE有公共点时，写出t的取值范围（直接写出答案）．
（1）求线段AE的长；
（2）当△ADE与△PBM相似时，求t的值；
（3）如图2，连接EP，过点P作PH⊥AE于H．
①当EP平分四边形PMEH的面积时，求t的值；
②以PE为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′，当线段B′C′与线段AE有公共点时，写出t的取值范围（直接写出答案）．
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解题思路：（1）根据ABCD是矩形，得出∠D=90°，再由勾股定理即可求出AE的值；
（2）根据已知∠D=∠B=90°，即可求出△ADE与△PBM相似时，再分两种情况进行讨论；当∠DAE=∠PMB时有[DE/PB]=[AD/BM]，
解出t的值和当∠DAE=∠MPB时有[DE/BM]=[AD/PB]得出t的值；
（3）①根据题意得出S△EHP=S△EMP，求出t的两个值，再根据t的取值范围即可求出t的值；②根据PE为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′直接写出t的取值范围即可；
（2）根据已知∠D=∠B=90°，即可求出△ADE与△PBM相似时，再分两种情况进行讨论；当∠DAE=∠PMB时有[DE/PB]=[AD/BM]，
解出t的值和当∠DAE=∠MPB时有[DE/BM]=[AD/PB]得出t的值；
（3）①根据题意得出S△EHP=S△EMP，求出t的两个值，再根据t的取值范围即可求出t的值；②根据PE为对称轴作线段BC的轴对称图形B′C′直接写出t的取值范围即可；
（1）∵ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∴AE2=AD2+DE2，
∵AD=12，DE=16，
∴AE=20，
（2）∵∠D=∠B=90°，
∴△ADE与△PBM相似时，有两种可能；
当∠DAE=∠PMB时，有[DE/PB]=[AD/BM]，即[16/21−t]=[12/6]，
解得：t=13；
当∠DAE=∠MPB时，有[DE/BM]=[AD/PB]，即[16/6]=[12/21−t]，
解得t=[33/2]；
（3）①∵△ADE∽△PHA，
∴[AE/PA＝
AD
PH＝
DE
HA]，
∴[20/t]=[12/PH]=[16/HA]，
∴PH=[3/5]t，HA=[4/5]t，
∵S△EHP=S△EMP，
∴[1/2]×[3/5]t×（20-[4/5]t）=[1/2]×12×（5+21-t）-[1/2]×6×（21-t）-[1/2]×6×5，
解得：t=
75±5
17
4，
∵0＜t＜21，
∴t=
75−5
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；轴对称的性质．
考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质；解题的关键是根据勾股定理、相似三角形的判定和性质的综合应用，要注意的是（2）中，有两种情况进行分类求解．
1年前
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