已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A（2，4），顶点的横坐标为[1/2]，它的图象与x轴交于两点B（x1，0）、

解题思路：需注意的是，由于本题没有明确B、C的位置关系，所以要分类讨论；由于B、C是抛物线与x轴的交点；根据韦达定理即可求出两个横坐标的和与积，进而可根据x₁²+x₂²=13求出第一个关于抛物线系数的等量关系式；将A点坐标代入抛物线的解析式中，可得到第二个关于抛物线系数的等量关系式；再联立抛物线的对称轴方程，即可求出待定系数的值，由此可确定抛物线的解析式，进而可求出抛物线与坐标轴的交点坐标；假设抛物线上存在符合条件的P点，使得△POB与△DOC相似，由于这两个三角形中，∠POB=∠DOC=90°，所以要考虑到两种情况：①△POB∽△DOC，②△POB∽△COD；根据不同的相似三角形所得到的不同比例线段，可求出P点的坐标，进而可用待定系数法求出直线BP的解析式．

∵y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点B（x1，0），C（x2，0），∴x1+x2=-ba，x1x2=ca；又∵x12+x22=13，即（x1+x2）2-2x1x2=13，∴（-ba）2-2•ca=13，①4a+2b+c=4，②-b2a=12．③解由①、②、③组成的方程组，得a=-1，b=1...

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题主要考查了根与系数的关系、一次函数与二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质等重要知识点，要注意的是在遇到相似三角形的对应边和对应角不明确的情况下，一定要分类讨论，以免漏解．