（2009•防城港）如图，在平面直角坐标系，直线y=-[4/3]（x-6）与x轴、y轴分别相交于A、D两点，点B在y轴上
（2009•防城港）如图，在平面直角坐标系，直线y=-[4/3]（x-6）与x轴、y轴分别相交于A、D两点，点B在y轴上，现将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处．
（1）求BD的长；
（2）设点N是线段AD上的一个动点（与点A、D不重合），S△NBD=S1，S△NOA=S2，当点N运动到什么位置时，S1•S2的值最大，并求出此时点N的坐标；
（3）在y轴上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M
的坐标，并选择一个写出其求解过程；若不存在，简述理由．
（1）求BD的长；
（2）设点N是线段AD上的一个动点（与点A、D不重合），S△NBD=S1，S△NOA=S2，当点N运动到什么位置时，S1•S2的值最大，并求出此时点N的坐标；
（3）在y轴上是否存在点M，使△MAC为直角三角形？若存在，请写出所有符合条件的点M
的坐标，并选择一个写出其求解过程；若不存在，简述理由． 
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解题思路：（1）因为直线y=-[4/3]（x-6）与x轴、y轴分别相交于A、D两点，所以可求A（6，0），D（0，8），并且有AD=10．
根据将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处，可得AC=AO=6，DC=AD-AC=10-6=4．并且可得到三角形DBC∽三角形DAO．利用相似三角形对应边的关系即可求出4：8=DB：10，DB=5．
（2）可设N（x，y）．
因为s1=[1/2]×5•x=[5/2]x，s2=[1/2]×6•y=3y，
s1•s2=[5/2]x•3y=[15/2]xy=
x•（-
x+8）=-10x2+60x，
利用二次函数最值的求法即可求出当x=3时最大值为90，并且此时N（3，4）是AD的中点．
（3）因为△MAC为直角三角形，所以∠MCA=90°或∠MAC=90°，需分情况讨论：
若∠MCA=90°则M与B重合，所以M（0，3）；
若∠MAC=90°，则△AMD∽△OAD，DM：AD=AD：OD，
DM：10=10：8，所以DM=12.5，OM=12.5-8=4.5．
M（0，-4.5）．
根据将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处，可得AC=AO=6，DC=AD-AC=10-6=4．并且可得到三角形DBC∽三角形DAO．利用相似三角形对应边的关系即可求出4：8=DB：10，DB=5．
（2）可设N（x，y）．
因为s1=[1/2]×5•x=[5/2]x，s2=[1/2]×6•y=3y，
s1•s2=[5/2]x•3y=[15/2]xy=
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利用二次函数最值的求法即可求出当x=3时最大值为90，并且此时N（3，4）是AD的中点．
（3）因为△MAC为直角三角形，所以∠MCA=90°或∠MAC=90°，需分情况讨论：
若∠MCA=90°则M与B重合，所以M（0，3）；
若∠MAC=90°，则△AMD∽△OAD，DM：AD=AD：OD，
DM：10=10：8，所以DM=12.5，OM=12.5-8=4.5．
M（0，-4.5）．
（1）令y=0，得x=6；
令x=0，得y=8．
所以A（6，0），D（0，8）．
并且有AD=10．
∵将△AOB沿AB翻折180°，使点O刚好落在直线AD的点C处，
∴AC=AO=6，DC=AD-AC=10-6=4．
∵∠D=∠D，∠DCB=∠O=90°，
∴△DBC∽△DAO．
∴DC：DO=DB：DA，
即4：8=DB：10，
∴DB=5．
（2）设N（x，y）．
s1=[1/2]×5•x=[5/2]x，s2=[1/2]×6•y=3y，
s1•s2=[5/2]x•3y=[15/2]xy=[15/2x•（-
4
3x+8）=-10x2+60x．
当x=3时最大值为90．
则y=-
4
3]（x-6）=4，
∴N（3，4），
∵A（6，0），D（0，8）．
∴N是AD的中点．
（3）∵△MAC为直角三角形，
∴∠MCA=90°或∠MAC=90°．
若∠MCA=90°，则M与B重合，因为BD=5，所以M（0，3）；
若∠MAC=90°，则△AMD∽△OAD，
∴DM：AD=AD：OD，
∴DM：10=10：8．
∴DM=12.5，OM=12.5-8=4.5，
∴M（0，-4.5）．
点评：
本题考点： 一次函数综合题．
考点点评： 本题需仔细分析题意，结合图象．利用相似三角形的性质和分情况讨论的思想即可解决问题．
1年前
5
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