已知函数f(x)＝a•2x−2+a2x+1（a∈R）．

解题思路：（1）函数f（x）为定义域（-∞，+∞），且f(x)＝a−

2

2x+1

，任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，推导出f（x₂）-f（x₁）＞0，由此得到f（x）在（-∞，+∞）上的单调增函数．
（2）由f（x）是定义域上的奇函数，知a−

2

2−x+1

+(a−

2

2x+1

)＝0对任意实数x恒成立，由此能够求出函数f（x）的值域和满足f（ax）＜f（2a-x²）的x的取值范围．

（本小题满分16分）
（1）函数f（x）为定义域（-∞，+∞），
且f(x)＝a−
2
2x+1，
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂
则f(x2)−f(x1)＝a−
2
2x2+1−a+
2
2x1+1＝
2(2x2−2x1)
(2x2+1)(2x1+1)…（3分）
∵y=2^x在R上单调递增，且x₁＜x₂
∴0＜2x1＜2x2，2x2−2x1＞0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（-∞，+∞）上的单调增函数．…（5分）
（2）∵f（x）是定义域上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即a−
2
2−x+1+(a−
2
2x+1)＝0对任意实数x恒成立，
化简得2a−(
2•2x
2x+1+
2
2x+1)＝0，
∴2a-2=0，即a=1，…（8分）
（注：直接由f（0）=0得a=1而不检验扣2分）
①由a=1得f(x)＝1−
2
2x+1，
∵2^x+1＞1，∴0＜
1
2x+1＜1，…（10分）
∴−2＜−
2
2x+1＜0，∴−1＜1−
2
2x+1＜1
故函数f（x）的值域为（-1，1）．…（12分）
②由a=1，得f（x）＜f（2-x²），
∵f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，∴x＜2-x²，…（14分）
解得-2＜x＜1，
故x的取值范围为（-2，1）．…（16分）

点评：
本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数的值域；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题考查函数的单调性的判断，考查函数的值域的求法和满足f（ax）＜f（2a-x2）的x的取值范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意定义法判断函数的单调性的应用．