（2006•崇文区二模）已知函数f（x）=x−1(x−1)2+1+32，x∈R．

解题思路：（Ⅰ）利用分析法，欲证：|f（x）-f（2）|＜|x-2|，需证明|

x−1

(x−1)2+1

+[3/2]-[1/2]|＜|x-2|，需证…，只需证明0＜（x-1）²+[1/2]|x-1|²+[1/2]，而该式成立，从而使原结论成立；
（Ⅱ）由上式|f（x）-f（2）|＜|x-2|有|2a_n+1-a_n-2|＜|a_n-2|，进一步推出|a_n-2|＜|a_n-1-2|＜…＜|a₁-2|≤1，从而可证1≤a_n≤3．

证明：（Ⅰ）欲证：|f（x）-f（2）|＜|x-2|，
只需证明|
x−1
(x−1)2+1+[3/2]-[1/2]|＜|x-2|，
只需证明|
(x−2)2
2[(x−1)2+1]|＜|x-2|，
只需证明|
(x−2)
2[(x−1)2+1]|＜1，
只需证明|x-2|＜2[（x-1）²+1]，
只需证明|x-2|＜[（x-1）²+1]+[（x-1）²+1]，
只需证明|x-1|+1＜[（x-1）²]+|x-1|+[1/2]|x-1|²+[1/2]，
只需证明0＜（x-1）²+[1/2]|x-1|²+[1/2]，
而0＜（x-1）²+[1/2]|x-1|²+[1/2]是恒成立的，
所以|f（x）-f（2）|＜|x-2|．--------------------------------8
（Ⅱ）由上式|f（x）-f（2）|＜|x-2|有|2a_n+1-a_n-2|＜|a_n-2|，
所以|2a_n+1-4-a_n+2|＜|a_n-2|．
有|2a_n+1-4|-|a_n-2|＜|a_n-2|．
而|a_n+1-2|＜|a_n-2|．
即|a_n-2|＜|a_n-1-2|＜…＜|a₁-2|≤1．
∴1≤a_n≤3．-----------------------------14

点评：
本题考点： 综合法与分析法(选修）．

考点点评： 本题着重考查分析法与综合法证明不等式，考查推理与分析、运算能力，属于难题．