设p，q为实数，试讨论广义积分∫∞0esinxsin2xxp(1+xq)何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，并说明理由

解题思路：（a）注意到∫∞0esinx|sin2x|xp(1+xq)dx＝∫10esinx|sin2x|xp(1+xq)dx+∫∞1esinx|sin2x|xp(1+xq)dx≡I1+I2，从而利用无界函数的反常积分敛散性的判断方法以及无穷限的反常积分敛散性的判断方法分别判断I1与I2的敛散性即可；（b）注意到∫∞0esinxsin2xxp(1+xq)dx＝∫10esinxsin2xxp(1+xq)dx+∫∞1esinxsin2xxp(1+xq)dx≡J1+J2，类似（a）进行讨论．

解 （a）考虑积分
∫∞0
esinx|sin2x|
xp(1+xq)dx＝
∫10
esinx|sin2x|
xp(1+xq)dx+
∫∞1
esinx|sin2x|
xp(1+xq)dx≡I₁+I₂．
由于当x→0⁺时，

esinx|sin2x|
xp(1+xq)与
1
xp−1同阶；
当x→+∞时，

esinx|sin2x|
xp(1+xq)≤
e
xp+q，

esinx|sin2x|
xp(1+xq)≥
e−1sin2x
2xp+q＝
1
4exp+q−
cos4x
4exp+q，

esinx|sin2x|
xp(1+xq)≥
x−p−q
2e(
kπ
2+
π
12≤
kπ
2+
5π
12)，
从而，
当p-1＜1时，I₁收敛，
当p+q＞1时，I₂收敛，
求解可得，1-q＜p＜2．
因此，当且仅当1-q＜p＜2时，原广义积分绝对收敛．
（b）考虑
∫∞0
esinxsin2x
xp(1+xq)dx＝
∫10
esinxsin2x
xp(1+xq)dx+
∫∞1
esinxsin2x
xp(1+xq)dx≡J₁+J₂．
易知，
i．当p＜2时，J₁收敛；当p≥2时，J₁发散；
ii．当p+q＞0时，J₂收敛；当p+q≤0时，I₂发散．
从而当且仅当-q＜p＜2时，广义积分收敛．
综上所述，我们得出结论：
（1）当1-q＜p＜2时，原广义积分绝对收敛；
（2）当p＜2且0＜p+q≤1时，原广义积分条件收敛；
（3）其他情况时，原广义积分发散．

点评：
本题考点： 判断反常积分的收敛性；无界函数的反常积分．

考点点评： 本题考查了广义积分敛散性的判断，其中包括无界函数的反常积分以及无穷限的广义积分，难度系数稍大，需要熟练掌握相关的判定定理并熟练运用；本题的计算量也比较大，需要仔细计算．