已知函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，0＜φ＜π）的周期为π，图象的一个对称中心为（ π 4 ，0），将函数f（

（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，
∴ω=
2π
T =2，
又曲线y=f（x）的一个对称中心为 (
π
4 ，0) ，φ∈（0，π），
故f（
π
4 ）=sin（2×
π
4 +φ）=0，得φ=
π
2 ，所以f（x）=cos2x．
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，
再将y=cosx的图象向右平移
π
2 个单位长度后得到函数g（x）=cos（x-
π
2 ）的图象，
∴g（x）=sinx．
（2）当x∈（
π
6 ，
π
4 ）时，
1
2 ＜sinx＜

2
2 ，0＜cosx＜
1
2 ，
∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，
问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（
π
6 ，
π
4 ）内是否有解．
设G（x）=sinx+sinxcos2x-cos2x，x∈（
π
6 ，
π
4 ），
则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx），
∵x∈（
π
6 ，
π
4 ），
∴G′（x）＞0，G（x）在（
π
6 ，
π
4 ）内单调递增，
又G（
π
6 ）=-
1
4 ＜0，G（
π
4 ）=

2
2 ＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（
π
6 ，
π
4 ）内存在唯一零点x ₀ ，即存在唯一零点x ₀ ∈（
π
6 ，
π
4 ）满足题意．
（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，
当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，
∴方程F（x）=0等价于关于x的方程a=-
cos2x
sinx ，x≠kπ（k∈Z）．
现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=-
cos2x
sinx 的解的情况．
令h（x）=-
cos2x
sinx ，x∈（0，π）∪（π，2π），
则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．
h′（x）=
cosx( 2sin 2 x+1)
sin 2 x ，令h′（x）=0，得x=
π
2 或x=
3π
2 ，
当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：
x （0，
π
2 ）
π
2 （
π
2 ，π） （π，
3π
2 ）
3π
2 （
3π
2 ，2π）
h′（x） + 0 - - 0 +
h（x） ↗ 1 ↘ ↘ -1 ↗ 当x＞0且x趋近于0时，h（x）趋向于-∞，
当x＜π且x趋近于π时，h（x）趋向于-∞，
当x＞π且x趋近于π时，h（x）趋向于+∞，
当x＜2π且x趋近于2π时，h（x）趋向于+∞，
故当a＞1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内无交点，在（π，2π）内有2个交点；
当a＜-1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；
当-1＜a＜1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；
由函数h（x）的周期性，可知当a≠±1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点；
又当a=1或a=-1时，直线y=a与曲线y=h（x）在（0，π）∪（π，2π）内有3个交点，由周期性，2013=3×671，
∴依题意得n=671×2=1342．
综上，当a=1，n=1342，或a=-1，n=1342时，函数F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2013个零点．