设函数f（x）=-[1/3]x3+x2+（m2-1）x（x∈R）．

解题思路：（1）对解析式提出x进行化简，再把“f（x）=0只有一个实数解”，转化为“−

1

3

x2+x +(m2−1)=0没有实数解”，再由判别式的符号与方程根的关系列出不等式，求出m的值；
（2）先把m=1代入解析式并求出导数，设出切点坐标（x₀，y₀），代入解析式求出纵坐标，再由导数的几何意义点斜式求出切线方程，将原点坐标代入求出x₀的值，再代入切线方程化简即可；
（3）由题意求出导数并因式分解，求出函数的临界点，判断出函数的单调区间，再由区间端点进行分类讨论，分别判断出函数的单调性，再求出函数的最大值，再列出不等式组，求出m的范围．

（1）由题意得，f（x）=−
1
3x3+x2+(m2−1)x
=x[−
1
3x2+x +(m2−1)]，
∵方程f（x）=0只有一个实数解，
∴−
1
3x2+x +(m2−1)=0没有实数解，
∴△=1+[4/3(m2−1)＜0，解得−
1
2＜m＜
1
2]，
∴实数m的取值范围是(−
1
2，
1
2)．
（2）当m=1时，f(x)＝−
1
3x3+x2，则f′（x）=-x²+2x，
设切点为（x₀，y₀），y0＝−
1
3x03+x02，
∴切线方程设为y-y₀=f′（x₀）（x-x₀），
即y−(−
1
3x03+x02)＝(−x02+2x0)(x−x0)①，
将原点（0，0）代入得，0−(−
1
3x03+x02)＝(−x02+2x0)(0−x0)，
解得x₀=0或x0＝
3
2，代入①得，y=0或3x-4y=0，
则过（0，f（0））的切线的方程为：y=0或3x-4y=0，
（3）由题意得，f′（x）=-x²+2x+m²-1=-（x-m-1）（x+m-1），
由f′（x）=0得，x=m+1或x=1-m，
∵m＞0，∴m+1＞1-m，
∴f（x）在（-∞，1-m）和（1+m，+∞）内单调递减，在（1-m，1+m）内单调递增．
①当1+m≥3，即m≥2时，f（x）在区间[1-m，3]上是增函数，
∴f(x)max＝f(3)＝3m2−3．
∴

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查了导数的综合应用，导数的几何意义，直线的点斜式方程，以及导数与函数的单调性、最值的关系，涉及了恒成立问题的处理，分类讨论思想．