已知函数f（x）=lg【x+根号（x的平方+1）】.

1.要使f（x）有意义则
需：x+根号（x的平方+1）>0
由于 x+根号（x的平方+1）>|x|+x>=0
所以 x+根号（x的平方+1）>0对于x属于R都成立
所以该函数的定义域是R
f(-x)=lg【-x+根号（-x的平方+1）】
=lg【-x+根号（x的平方+1）】
f(-x)+f（x）=lg{【-x+根号（x的平方+1）】*【x+根号（x的平方+1）】}
=lg{x^2+1-x^2}=lg1=0
由于定义域为R,且f(-x)=-f（x）
所以该函数为奇函数
由于是及函数所以关于零两边的单调性是相同的
所以我们只要讨论大于等于零就可以了
由于lg(h(x))为复合函数（不妨用h(x)=【x+根号（x的平方+1）】.）,整个函数的单调性和h(x)相同
而x+根号（x的平方+1）显然在x大于等于零时为单调递增函数
所以f（x）在x大于等于零上是单调递增
而由奇函数可知道f（x）在x小于等于零也是单调递增的
又由于f（x）在x大于零时值为大于零,在x小于零时值小于零
所以对于x属于R时为单调低增
2.由证明该函数为奇函数的过程中
当y=-x时候f(-x)+f（y）=0
即对数应可以化为lg（1）
由此我们
可知道x+y=0 时候可以满足条件
现在我们证明当x+y不等于零时,
【x+根号（x的平方+1）】×【y+根号（y的平方+1）】不等于1
若果x,y同号的话,由f（x）符号可知道f（x）+f（y）不会等于零.
所以x,y只有可能是异号时才有可能,
不妨设x>0,y|x|
f(x)+f(y)=f(x)-f(-y)
函数在零到正无穷大为单调递增且大于零
所以上式大于零所以
x+y>0,在x>0,y|y|不成立
同道理可以证明
在x