设函数f(x)=lg(x+根号x的平方+1)

1.
f(x)=lg(根号(x的平方+)+x)
f(-x)=lg(-x+根号-x的平方+1)=lg(根号（x的平方+1）-x)
f(x)+f(-x)=lg(根号(x的平方+1)+x)+lg(根号（x的平方+1）-x)
=lg[x^2+1-x^2]
=lg1
=0
所以f(-x)=-f(x)
所以是奇函数
2.
要证明f(x)=lg(x+根号x的平方+1)递增,只要证明x+根号x的平方+1递增就可以了.
设g（x）=x+根号（x^2+1）
令x1>x2
g（x1）=x1+根号（x1^2+1）
g（x2）=x2+根号（x2^2+1）
g（x1）-g（x2）=x1-x2+根号（x1^2+1）-根号（x2^2+1）
∵根号（x1^2+1）-根号（x2^2+1）
=[（x1^2+1）-（x2^2+1）]/(根号（x1^2+1）+根号（x2^2+1）)
=(x1+x2)(x1-x2)/(根号（x1^2+1）+根号（x2^2+1）)
所以
g（x1）-g（x2）=x1-x2+(x1+x2)(x1-x2)/(根号（x1^2+1）+根号（x2^2+1）)
=（x1-x2）（1+(x1+x2)/(根号（x1^2+1）+根号（x2^2+1）)）
因为x1-x2>0,（1+(x1+x2)/(根号（x1^2+1）+根号（x2^2+1）)）>0
所以g（x1）-g（x2）>0
所以g（x）=x+根号（x^2+1）为递增函数
所以f(x)=lg(x+根号x的平方+1)也为递增函数

将-X带入原式,注意到真数当X为负的时候和原来的真数互为倒数,然后利用对数函数的性质就很自然的得到f(-x)=-f(x)的结论,所以奇函数
证明单调性的话如果你会导数就很简单不用我说了,如果不会导数的话就只能通过单调性的定义了,没别的办法,证明过程肯定还要用到刚才说的注意的地方,没什么技巧可言,等你学完导数以后就会发现这种证明完全就是在浪费你的时间!
希望能对你有帮助...

1、 奇函数 f(0)=0
2、 证明f(x)-f(x-1)>0即可