已知函数f（x）=x2，g（x）=ax+3（a∈R），记函数F（x）=f（x）-g（x），

（1）∵f（x）=x²，g（x）=ax+3（a∈R），
∴函数F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax-3．
则判别式△=a²-4（-3）=a²+12＞0，
∴函数F（x）的零点个数有2个．
（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax-3．
∴|F（x）|=|x²-ax-3|=

x2−ax−3，F(x)≥0
−x2+ax+3，F(x)＜0，
当a≤0时，对应的图象为：，
当a＞0时，对应的图象为：，
∴要使函数|F（x）|在[0，1]上是减函数，
则

a≤0
F(1)≤0，解得-2≤a≤0．
（3）∵F（x）=f（x）-g（x）=x²-ax-3=（x-[a/2]）²−
a2
4-3，
∴对称轴x=[a/2]，
①若[a/2≤1，即0＜a≤2时，函数F（x）在[1，2]上单调递增，∴F（x）最小值为g（a）=F（1）=-2-a．
②若
a
2≥2，即a≥4时，函数F（x）在[1，2]上单调递减，∴F（x）最小值为g（a）=F（2）=1-a．
③若1＜
a
2＜2，即2＜a＜4时，函数F（x）在[1，2]上不单调，∴函数F（x）最小值为g（a）=F（
a
2]）=-
a2
4-3．
综上：g（a）=

−2−a，0＜a≤2
−
a2
4−3， 2＜a＜4
1−a，a≥4．

点评：
本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题主要考查二次函数的图象和性质，利用配方法得到二次函数的对称轴，根据对称轴和单调区间之间的关系是解决本题的关键．