如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．

（1）由题意可设抛物线的解析式为
y=a（x-2） ² +1
∵抛物线过原点，
∴0=a（0-2） ² +1，
∴ a=-
1
4 ．
抛物线的解析式为y=-
1
4 （x-2） ² +1，
即y=-
1
4 x ² +x

（2）如图1，当四边形OCDB是平行四边形时，CD=OB，
由0=-
1
4 （x-2） ² +1得x ₁ =0，x ₂ =4，
∴B（4，0），OB=4．
由于对称轴x=2
∴D点的横坐标为6．
将x=6代入y=-
1
4 （x-2） ² +1，得y=-3，
∴D（6，-3）；
根据抛物线的对称性可知，
在对称轴的左侧抛物线上存在点D，使得四边形ODCB是平行四边形，此时D点的坐标为（-2，-3），
当四边形OCBD是平行四边形时，D点即为A点，此时D点的坐标为（2，1）

（3）不存在．
如图2，由抛物线的对称性可知：AO=AB，∠AOB=∠ABO．
若△BOP与△AOB相似，必须有∠POB=∠BOA=∠BPO
设OP交抛物线的对称轴于A′点，显然A′（2，-1）
∴直线OP的解析式为y=-
1
2 x
由-
1
2 x=-
1
4 x ² +x，得x ₁ =0，x ₂ =6．
∴P（6，-3）
过P作PE⊥x轴，在Rt△BEP中，BE=2，PE=3，
∴PB=
13 ≠4．
∴PB≠OB，
∴∠BOP≠∠BPO，
∴△PBO与△BAO不相似，
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点．
所以在该抛物线上不存在点P，使得△BOP与△AOB相似．