已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A、C两点的坐标分别为A（4，2），C（n，-2）（其中n＞0），点B在x轴
| 已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A、C两点的坐标分别为A（4，2），C（n，-2）（其中n＞0），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿O-A-B-C的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为l，△POC的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形． （1）结合以上信息及图2填空：图2中的m=______； （2）求B、C两点的坐标及图2中OF的长； （3）若OM是∠AOB的角平分线，且点G与点H分别是线段AO与射线OM上的两个动点，直接写出HG+AH的最小值，请在图3中画出示意图并简述理由．  |
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（1）如图1，∵四边形ODEF是等腰梯形，
∴OA=BC且OA ∥ BC，
∴四边形OABC是平行四边形，
由已知可得：S △AOC =8，连接AC交x轴于R点，
又∵A（4，2），C（n，-2），
∴S △AOC =S △AOR +S △ROC =0.5×RO×2+0.5×RO×2=2RO=8，
∴OR=4，
∴m=OA=
OR 2 +A R 2 =
4 2 +2 2 =2
5 ；
故答案为：2
5 ；
（2）∵OB=2RO=8，CR=AR=2，AR⊥OB，
∴B（8，0），C（4，-2）且平行四边形OABC是菱形，
∴OF=3AO=3×2
5 =6
5 ；
（3）如图3，在OB上找一点N使ON=OG，连接NH，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠BOM，
在△GOH和△NOH中，
ON=OG
∠GOH=∠NOH
OH=OH ，
∴△GOH≌△NOH（SAS），
∴GH=NH，
∴GH+AH=AH+HN=AN，
根据垂线段最短可知：当AN是点A到OB的垂线段时，且H点是AN与OM的交点，
∴GH+AH的最小值为2．
∴OA=BC且OA ∥ BC，
∴四边形OABC是平行四边形，
由已知可得：S △AOC =8，连接AC交x轴于R点，
又∵A（4，2），C（n，-2），
∴S △AOC =S △AOR +S △ROC =0.5×RO×2+0.5×RO×2=2RO=8，
∴OR=4，
∴m=OA=
OR 2 +A R 2 =
4 2 +2 2 =2
5 ；
故答案为：2
5 ；
（2）∵OB=2RO=8，CR=AR=2，AR⊥OB，
∴B（8，0），C（4，-2）且平行四边形OABC是菱形，
∴OF=3AO=3×2
5 =6
5 ；
（3）如图3，在OB上找一点N使ON=OG，连接NH，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOM=∠BOM，
在△GOH和△NOH中，
ON=OG
∠GOH=∠NOH
OH=OH ，
∴△GOH≌△NOH（SAS），
∴GH=NH，
∴GH+AH=AH+HN=AN，
根据垂线段最短可知：当AN是点A到OB的垂线段时，且H点是AN与OM的交点，
∴GH+AH的最小值为2．
1年前
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