在Rt三角形ABC中,角ACB=90°,AC=BC,P、Q为斜边AB上两点,角PCQ=45°试说明AP²+BQ²=PQ²

证明：将△BCQ绕点C旋转到BC与AC重合,将旋转后的点Q设为D
∵AC＝BC,∠ACB＝90
∴∠B＝∠BAC＝45
∵△BCQ绕点C旋转至△ACD
∴AD＝BQ,CQ＝CD,∠CAD＝∠B＝45,∠DCA＝∠QCB
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝90
∴AP²+AD²=PD²
∴AP²+BQ²=PD²
∵∠PCQ＝45
∴∠ACP+∠QCB＝∠ACB-∠PCQ＝45
∠DCP＝∠ACP+∠DCA＝45
∴∠DCP＝∠PCQ
∵CP＝CP
∴△PCD≌△PCQ （SAS）
∴PQ＝PD
∴AP²+BQ²=PQ²