设函数f（x）=x3+ax2-a2x+m（a＞0）

解题思路：（Ⅰ）先求导，利用导数来判断函数的单调区间．
（Ⅱ）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可．
（Ⅲ）先求出f（x）_max，再由题意得f（x）_max≤1即-8+4a+2a²+m≤1，再分离参数，再求函数的最小值即可．

（Ⅰ）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=3（x-[a/3]）（x+a），
又a＞0，∴当x＜-a或x＞[a/3]时f′（x）＞0；
当-a＜x＜[a/3]时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-a），（[a/3]，+∞），单调递减区间为（-a，[a/3]）．
（Ⅱ）由题设可知，方程f′（x）=3x²+2ax-a²=0在[-1，1]上没有实根，
∴

f′(−1)＜0
f′(1)＜0
a＞0，解得a＞3．
故a的取值范围为（3，+∞）
（Ⅲ）∵a∈[3，6]，∴由（Ⅰ）知[a/3]∈[1，2]，-a≤-3
又x∈[-2，2]
∴f（x）_max=max{f（-2），f（2）}
而f（2）-f（-2）=16-4a²＜0
f（x）_max=f（-2）=-8+4a+2a²+m
又∵f（x）≤1在[-2，2]上恒成立
∴f（x）_max≤1即-8+4a+2a²+m≤1
即m≤9-4a-2a²，在a∈[3，6]上恒成立
∵9-4a-2a²的最小值为-87
∴m≤-87．
故m的取值范围为（-∞，87]

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．

考点点评： 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，还考查了变量分离的思想方法，属于中档题．