高二数学问题设ABCD为凸四边形,AB=7,BC=4,CD=5,DA=6.其面积S的取值范围是（a,b],则a+b=(过

首先求最小值:
因为AB+BC=CD+DA,所以当四边形的四条边在同一条直线时候,也就是角B和角D都是180度,角A和角C都是0度时,四边形面积趋近于最小 a=0.
再求最大值:
根据三角形的面积公式 S=1/2*acSinA
连结 AC,把四边形的面积划分成两个三角形(ABC、ADC)的面积之和.
三角形ABC 的面积=1/2*AB*BC*SinB=1/2*7*4*SinB=14SinB
三角形ADC 的面积
=1/2*AD*DC*SinD=1/2*6*5*SinD=15SinD
四边形的面积为 S= 14SinB+15SinD (1)
(注意,^ 符号表示幂,例如 a^2 表示 a的2次方,也就是 a的平方.下面的式子中可能出现这个符号)
再根据余弦定理,
AC^2=AB^2+BC^2-2*AB*BC*CosB=AD^2+DC^2-2*AD*DC*CosD 可以得到
65-56CosB=61-60CosD
化简得到:14CosB-15CosD=1 (2)
把(1)式平方后得
S^2=196*SinB^2+420*SinB*SinD+225*SinD^2 (3)
把(2)式平方后得
1 =196*CosB^2-420*CosB*CosD+225*CosD^2 (4)
(3)式和(4)式相加,得到:
S^2+1=196-420*Cos(B+D)+225
S^2=420( 1-Cos(B+D) )
可以看出,当 Cos(B+D)=-1,也就是 B+D=180度 时,
四边形面积最大,为 2*(根号210)
还可以看出,当 Cos(B+D)=1,也就是 B+D=0度 时,
B=0,D=0
四边形面积最小,为 0
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