已知动圆C经过坐标原点O，且圆心C在直线l：2x+y=4上．

（1）因为圆心C在直线l：2x+y=4上，
所以设圆心的坐标为（a，4-2a）．
又因为动圆C经过坐标原点O，
所以动圆的半径r=
5(a−
8
5)2+
16
5，所以半径r的最小值为
4
5
5．
并且此时圆的方程为：（x-[8/5]）²+（y-[4/5]）²=[16/5]．
（2）设定点坐标（x₀，y₀），因为圆的方程为：（x-a）²+[y-（4-2a）]²=a²+（4-2a）²
所以x₀²-2ax₀+y₀²-2（4-2a）y₀=0，
即a（4y₀-2x₀）+（x₀²+y₀²-8y₀）=0，
因为当a为变量时，x₀，y₀却能使该等式恒成立，
所以只可能4y₀-2x₀=0且x₀²+y₀²-8y₀=0
即解方程组可得：y₀=[8/5]，x₀=[16/5]或者y₀=0，x₀=0（舍去）
所以圆C恒过一定点（[16/5]，[8/5]）．