求泰勒级数展开式的的收敛半径答案是    (根号3)/2

答案错了,应该是√2.
看自变量用的是z,你这题是复变里的吧?
学了复变函数应该知道,1/(1+z²)在复平面上z = ±i以外的区域解析.
而解析函数在任意一点Taylor展开的收敛半径 = 以该点为圆心的解析区域内的最大圆的半径.
z = 1到z = ±i的距离 = |1±i| = √2.
因此以z = 1为圆心的包含在1/(1+z²)的解析区域内的最大圆的半径为√2.
即1/(1+z²)在z = 1处Taylor展开的收敛半径为√2.
如果没学复变函数,而是数学分析里的问题也可以做,但要麻烦不少.
是这种情况的话请追问,我会给出相应做法.