1.圆锥和圆柱的下底面在同一平面上,它们有共同的内切圆.记圆锥和圆柱的体积分别为V1 V2 若V1=kV2,则求k最小值

1.设内切球的半径为r,轴截面的底面半径为R,高为h.
对于圆锥：轴截面为等腰三角形.设底角为2α,则0＜2α＜90°,0°＜α＜45°.
R=r*ctnα.h=R*ctn2α=r*ctnαctn2α=r*[1-(ctnα)^2]/2.
V1=1/3*πR^2*h=1/6*πr^2(ctnα)^2* r*[1-(ctnα)^2]
=1/6*πr^3*(ctnα)^2* [1-(ctnα)^2].
对于圆柱：轴截面是正方形.R=r,h=2r.V2=πr^2*2r=2πr^3.
于是,k=V1/V2=1/12*(ctnα)^2* [1-(ctnα)^2]≤1/12*1/4=1/48,
等号在(ctnα)^2= [1-(ctnα)^2]即(ctnα)^2=1/2时取得.此时,ctn2α=(1-1/4)/2*(1/2)=3/4.
即当圆锥的底角的余切值为3/4时,圆锥有最小的体积.其体积是圆柱体积的1/48.
2.设内径为rcm,则外径为(3+r)cm.据题意有：4/3*3.14*[（3+r）^3-r^3]=876.
整理得方程r^2+3r-226.22=0,解得r=13.5,球内径为13.5cm,外径为16.5cm.
3.高为a的圆柱,底面周长为b,半径为b/2π.
高为b的圆柱,底面周长为a,半径为a/2π.由题意知：π（b/2π）^2*a=1/2*π(a/2π)^2*b,
a:b=2:1.
4.设正方形的边长为a,则圆柱的轴截面的面积=a*2a=2a^2.
圆柱的侧面积=2πa*a=2πa^2.底面积=πa^2,全面积=2πa^2+2πa^2=4πa^2.
全面积：轴截面面积=4πa^2：2a^2.=2π.