（2013•泸州一模）已知函数f（x）=x3+mx，g（x）=nx2+n2，F（x）=f（x）+g（x）．

（2013•泸州一模）已知函数f（x）=x3+mx，g（x）=nx2+n2，F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数F（x）在x=l处有极值为10，求曲线F（x）在（0，F（0））处的切线方程；
（Ⅲ）若n2＜3m，不等式F(
1+1nx
x−1
)＞F(
k
x
)对∀x∈（1，+∞）恒成立，求整数k的最大值．
BOBO恩恩 1年前 已收到1个回答 举报
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2两素刀 幼苗

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解题思路：（Ⅰ）求f′（x），解含参数m的不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅱ）由函数F（x）在x=l处有极值为10，可得F′（1）=0，F（1）=10，由此可求出F（x），由导数的几何意义及直线点斜式方程可求切线方程；
（Ⅲ）由n2＜3m，可得F（x）为增函数，从而不等式F(
1+1nx
x−1
)＞F(
k
x
)可转化为[1+lnx/x−1＞
k
x]，分离出参数k，转化为函数最值问题即可解决．

（Ⅰ）∵f（x）=x3+mx，∴f′（x）=3x2+m．
①当m≥0时，f′（x）≥0恒成立，所以f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
②当m＜0时，若f′（x）＜0，则−

−3m
3＜x＜

−3m
3．若f′（x）＞0，则x＜−

−3m
3，或x＞

−3m
3，
所以f（x）在（-

−3m
3，

−3m
3）上是减函数，在（-∞，-

−3m
3），（

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性及函数恒成立问题，属于导数的综合应用，有一定难度，特别是恒成立问题，常常转化为函数最值问题，进而可用导数解决．

1年前

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