设函数y=f（x）是定义在R+上的函数，并且满足下面三个条件：

解题思路：（I）对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，x=y=3，即可求得f（1）、f(

1

9

)的值；且当x＞1时，f（x）＜0，根据函数单调性的定义讨论函数的单调性．
（II）f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式，解不等式即可求得结果．
（III）把f（kx）+f（2-x）根据条件转化为f[kx（2-x）]，根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式有解，分离参数转化我求函数的最值问题．

（I）令x=y=1易得f（1）=0．
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且f(9)+f(
1
9)=f(1)=0，
得f(
1
9)=2．
（II）设012<+∞，由条件（1）可得f(x2)-f(x1)=f(
x2
x1)，
因
x2
x1>1，由（2）知f(
x2
x1)<0，
所以f（x₂）1），
即f（x）在R₊上是递减的函数．
由条件（1）及（I）的结果得：f[x(2-x)]1
9)
其中0+上的递减性，可得：

x(2-x)>
1
9
0由此解得x的范围是(1-
2
2
3，1+
2
2
3)．
（III）同上理，不等式f（kx）+f（2-x）<2可化为kx(2-x)>
1
9且0得k>
1
9x(2-x)，此不等式有解，等价于k>[
1
9x(2-x)]min，
在0max=1，
故k>
1
9即为所求范围．

点评：
本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 考查利用函数单调性的定义探讨抽象函数的单调性问题，对于解决抽象函数的一般采用赋值法，求某些点的函数值和证明不等式等，体现了转化的思想，（Ⅲ）不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，采取分离参数的方法，转化为函数的最值问题，加大了试题的难度，属中档题．