设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：
①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＜0；
③f（3）=-1．
（Ⅰ）求f（1）、f（[1/9]）的值；
（Ⅱ）证明：f（x）在（0，+∞）上是减函数．
vfdfc 1年前 已收到1个回答 举报
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带头大哥7777 幼苗

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解题思路：（Ⅰ）令x=y=1，求出f（1）=0，令x=y=3求出f（9），令x=9，y=[1/9]，求出f（[1/9]）；
（Ⅱ）0＜x1＜x2，则
x2
x1
＞1，则由②得f（
x2
x1
）＜0，再由①得到f（x2）＜f（x1），由函数的单调性即可得证．

（Ⅰ）令x=y=1，得f（1）=2f（1），即f（1）=0，
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2，
且f（9）+f（[1/9]）=f（1）=0，得f（[1/9]）=2．
（Ⅱ）证明：若0＜x1＜x2，则
x2
x1＞1，
则由②得f（
x2
x1）＜0，
∴f（x2）=f（
x2
x1•x1）=f（
x2
x1）+f（x1）＜f（x1），
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．

点评：
本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题考查函数的单调性和运用，考查抽象函数值的求法：赋值法．属于中档题．

1年前

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