f(x)=1/2(10^x-10^-x)

对于函数f(x)=1/2(10^x-10^-x),定义域为R,值域也为R,
1.由y=1/2(10^x-10^-x),得(10^x)^2-2y(10^x)-1=0,即x=lg[y+√(y^2+1)],所以所求反函数为y=lg[x+√(x^2+1)],x属于R.
2.由原函数与反函数的关系可知,反函数的定义域与值域都是R.
3.设x1、x2为任意两个实数,且x1＜x2,
f(x1)-f(x2)=lg[x1+√(x1^2+1)]-lg[x2+√(x2^2+1)]
=lg{[x1+√(x1^2+1)]/[x2+√(x2^2+1)]},
又[x1+√(x1^2+1)]-[√(x2^2+1)+x2]
=(x1-x2){[x1+√(x1^2+1)]+[x2+√(x2^2+1)]}/[√(x1^2+1)+√(x2^2+1)]＜0,
得{[x1+√(x1^2+1)]/[x2+√(x2^2+1)]}＜1,
即f(x1)＜f(x2).
所以,反函数为其定义域内的减函数.

严格来说，原函数如果定义在实数域，则它没有反函数。高中数学的反函数指的是一一映射。
上述结论，如果用高中知识可以根据指数函数的性质在坐标系中作简要的分析。
高等数学中可以求其导数，当x>0时，原函数的导数大于0，而x<0时，原函数的导数小于0.
与此题相近的例子是三角函数，正弦与余弦函数的反函数一样，前者反函数定义域在（-pai/2 pai/2）,而后者为（0，pai）。