高数题,试证:z=√(|xy|)在(0,0)处连续,偏导数存在,但是不可微分

计函数为ƒ(x,y)
lim[x→0,y→0] √(|xy|) = 0 = ƒ(0,0)
因此z=√(|xy|)在(0,0)连续.
ƒ'x(0,0)=lim[h→0] [z(h,0)-z(0,0)]/h
=lim[h→0] 0/h
=0
ƒ'y(0,0)=lim[h→0] [z(0,h)-z(0,0)]/h
=lim[h→0] 0/h
=0
因此函数在(0,0)处两个偏导数都存在.
Δz=ƒ(Δx,Δy)-ƒ(0,0)
=√(|ΔxΔy|)
根据定义,函数若要可微,必须Δz是ρ=√(Δx²+Δy²)的高阶无穷小
lim[Δx→0,Δy→0] √(|ΔxΔy|) / √(Δx²+Δy²)
令(Δx,Δy)沿y=kx趋向于原点,得：
lim[Δx→0,Δy→0] √(|kΔx²|) / √(Δx²+k²Δx²)
=√|k| / √(1+k²)
结果与k有关,因此该极限不存在,说明Δz不是ρ=√(Δx²+Δy²)的高阶无穷小
因此函数在原点处不可微.