期末数学导数复习 11.设函数y=x^3+ax^2+bx+c的图像如图所示,且与x轴在原点相切,若函数的极小值为-4.（

11.设函数y=x^3+ax^2+bx+c的图像如图所示,且与x轴在原点相切,若函数的极小值为-4.
（1）求a、b、c的值 （2）求函数的递减区间.
（1） y'=3x^2+2ax+b
∵ 图像与x轴在原点相切
∴x=0时,y取得极大值0
∴y'|(x=0)=b=0
y|(x=0)=c=0
∴ y=x^3+ax^2
y'=3x^2+2ax=3x(x+2a/3)
y'=0得x=0,x=-2a/3
∵x=0是极大值点,∴x=-2a/3是极小值点
∴x=-2a/3时,y=-4
即 (-2a/3)^3+a(-2a/3)^2=-4
∴-8/27a^3+4/9a^3 =-4
∴a^3=-27 ,a=-3
∴a=-3,b=c=0
(2) y=x^3-3x²
y'=3x^2-6x=3x(x-2)
y'>0 即x(x-2)>0 ==>x<0,或x>2
y'<0 ==> 0 ∴函数递增区间为(-∞,0),(2,+∞)
递减区间为 (0,2)

12.已知函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c在x=-2/3与x=1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f(x)的单调区间
（2）若对x∈[-1,2],不等式f(x)(1)
f'(x)=3x^2+2ax+b
∵f(x) 在x=-2/3与x=1时都取得极值
∴ x=-2/3与x=1是f'(x)=0的根
由韦达定理得 -2a/3=-2/3+1 ==>a=-1/2
b/3=-2/3 ==>b=-2
(2)
f(x)=x^3-1/2x^2-2x+c
x∈[-1,2],不等式f(x)即f(x)max由（1）知 f'(x)=3(x-1)(x+2/3)

f(x)max=f(2)=2+c
由 2+c0
∴c<-1或c>2