如图在正三棱锥A-BCD中,E,F分别是AB,BC的中点,EF⊥DE,且BC=1,求二面角E-CD-A的余弦值

∵A-BCD是正三棱锥,BC=1
∴AC⊥BD(正三棱锥性质,也可以作辅助线证明)
∵E和F为中点
∴EF∥AC
又∵EF⊥ED
∴AC⊥ED
∴AC垂直平面ABD
∴侧面为三个全等的等腰直角三角形(这个是重点结论)
∴AB=AC=AD=√2/2
设G为CD的中点,连接EG,AG
∵CE=DE,AC=AD
∴EG⊥CD,AG⊥CD
∴二面角E-CD-A即为∠AGE
求得AG=1/2,AE=√2/4；
由DE²=AD²+AE²,即DE²=1/2+1/8=5/8,
则EG²=DE²-DG²=5/8-1/4=3/8,即EG=√6/4；
由余弦定理cos∠AGE=(EG²+AG²-AE²)/[2(EG*AG)]=(3/8+1/4-1/8)/[2(√6/4)*(1/2)]=√6/3