已知抛物线y=x2+bx+c交y轴于点A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B（3，-4），直线y=[1/4]x与抛物线在第
已知抛物线y=x2+bx+c交y轴于点A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B（3，-4），直线y=[1/4]x与抛物线在第一象限的交点为C，连接OB．
（1）填空：b=______，c=______；
（2）如图（1），点P为射线OC上的动点，连接BP，设点P的横坐标为x，△OBP的面积为S，求S关于x的函数关系式；
（3）如图（2），点P在直线OC上的运动，点Q在抛物线上运动，问是否存在P、Q，使得以O，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）填空：b=______，c=______；
（2）如图（1），点P为射线OC上的动点，连接BP，设点P的横坐标为x，△OBP的面积为S，求S关于x的函数关系式；
（3）如图（2），点P在直线OC上的运动，点Q在抛物线上运动，问是否存在P、Q，使得以O，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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解题思路：（1）根据B点坐标及抛物线的对称性，可求A点坐标，将A、B两点坐标代入抛物线解析式，解方程组可求b、c；
（2）连接AB，作PD⊥y轴，则D（0，[1/4]x），在梯形ABPD中，分别计算梯形、两个直角三角形的面积，利用割补法表示△OBP的面积S；
（3）因为AB=3，根据PQ∥AB，PQ=AB，求出满足条件的P点坐标．
（2）连接AB，作PD⊥y轴，则D（0，[1/4]x），在梯形ABPD中，分别计算梯形、两个直角三角形的面积，利用割补法表示△OBP的面积S；
（3）因为AB=3，根据PQ∥AB，PQ=AB，求出满足条件的P点坐标．
（1）已知B（3，-4），根据抛物线的对称性可知A（0，-4），
将A、B两点坐标代入抛物线解析式，得
c＝−4
9+3b+c＝−4，解得b=-3，c=-4；
（2）作PD⊥y轴，则D（0，[1/4]x）
梯形ABPD面积=[1/2]（x+3）（[1/4]x+4）=[1/8x2+
19
8]x+6
△AOB面积=[1/2]×3×4=6
△DOP面积=[1/2]×x×[1/4]x=[1/8x2
∴S=梯形ABPD面积-△AOB面积-△DOP面积=
19
8]x
（3）存在．设P（4y，y），Q（x，x2-3x-4），
则OB=PQ，OQ=BP，
∵B（3，-4），
∴OB=5，
∴PB2=（4y-3）2+（y+4）2=x2+（x2-3x-4）2，①
OB2=（4y-x）2+（x2-3x-4-y）2=25，②
①②联立得，
4y＝8
y＝2，
4y＝
5
4
y＝
5
16，
4y＝−
11
4
y＝−
11
16，
4y＝
11
4
y＝
11
16．
故P1（8，2），P2（[5/4]，[5/16]），P3（-[11/4]，-[11/16]），-P4（[11/4]，[11/16]）．
点评：
本题考点： 二次函数综合题；平行线的性质；相似多边形的性质．
考点点评： 本题考查了待定系数法求抛物线解析式的方法，坐标系中，面积的表示方法及平行四边形性质的运用．
1年前
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