如图，抛物线y=ax 2 +bx+1与x轴交于两点A（﹣1，0），B（1，0），与y轴交于点C．

（1）依题意，得： ，
解得 ；
∴抛物线的解析式为：y=﹣x ² +1；
（2）易知A（﹣1，0），C（0，1），则直线AC的解析式为：y=x+1；
由于AC∥BD，可设直线BD的解析式为y=x+h，
则有：1+h=0，h=﹣1；
∴直线BD的解析式为y=x﹣1；
联立抛物线的解析式得： ，
解得 ， ；
∴D（﹣2，﹣3）；
∴S _{四边形ACBD} =S _△ABC +S _△ABD = ×2×1+ ×2×3=4；
（3）∵OA=OB=OC=1，
∴△ABC是等腰Rt△；
∵AC∥BD，
∴∠CBD=90°；
易求得BC= ，BD=3 ；
∴BC：BD=1：3；
由于∠CBD=∠MNA=90°，
若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似，
则有：△MNA∽△CBD或△MNA∽△DBC，得：
= 或 =3；
即MN= AN或MN=3AN；
设M点的坐标为（x，﹣x ² +1），
①当x＞1时，AN=x﹣（﹣1）=x+1，MN=x ² ﹣1；
∴x ² ﹣1= （x+1）或x ² ﹣1=3（x+1）
解得x= ，x=﹣1（舍去）或x=4，x=﹣1（舍去）；
∴M点的坐标为：M（ ，﹣ ）或（4，﹣15）；
②当x＜﹣1时，AN=﹣1﹣x，MN=x ² ﹣1；
∴x ² ﹣1= （﹣x﹣1）或x ² ﹣1=3（﹣x﹣1）
解得x= ，x=﹣1（两个都不合题意，舍去）或x=﹣2，x=﹣1（舍去）；
∴M（﹣2，﹣3）；
故存在符合条件的M点，且坐标为：M（ ，﹣ ）或（4，﹣15）或（﹣2，﹣3）．