设n阶矩阵A满足A^2=A,求A的特征值,并证明E+A可逆.

shenghcai 1年前 已收到5个回答 举报
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datura_ann 幼苗

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设j是的一特征值,则有X,使得AX=jX.
而又有
A^2×X=A(AX)=A(jX)=j(AX)=j^2×X 因为A^2=A,故有：j^2×X=j×X即 j^2=j
求得 j=0 j=1
由A^2=A 有A^2－A－2E=－2E
因为E^2=E A×E=A
故上式化成
（A＋E）×（A－2E）=－2E
从而E＋A可逆

1年前

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gcll2218 幼苗

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因为A^2的特征值是A的特征值的平方，根据这个性质，
可知A的特征值是若干个1（r个）和若干个0（n-r个）.
从而E + A的特征值依次比A的特征值大1，
所以是若干个2（r个）和若干个1（n-r个）.特征值全部不为0，所以可逆！！

1年前

2

qing015 幼苗

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A^2-A=0=>a^2-a=0=>a=0或1
由A^2=A 有A^2－A－2E=－2E
因为E^2=E A×E=A
故上式化成
（A＋E）×（A－2E）=－2E
从而E＋A可逆

1年前

2

洛阳旅游 幼苗

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证明：A^2=A
则A^2-A=0
凑因式分解！
A^2-A-2E=-2E
分解得：
(A-2E)(A+E)=-2E
即：-1/2*(A-2E)(A+E)=E
由逆矩阵性质：当AB=E,时，则称A可逆，且A^(-1)=B
则
(A+E)可逆，且逆矩阵为：-1/2*(A-2E)
对于这种证明题，先把这个式子凑出来。然后...

1年前

1

水墨梅花 幼苗

共回答了7个问题 举报

证明：A^2=A
则A^2-A=0
凑因式分解！
A^2-A-2E=-2E
分解得：
(A-2E)(A+E)=-2E
即：-1/2*(A-2E)(A+E)=E
由逆矩阵性质：当AB=E,时，则称A可逆，且A^(-1)=B
则
(A+E)可逆，且逆矩阵为：-1/2*(A-2E)
对于这种证明题，先把这个式子凑出来。然后...

1年前

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