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(1)要存在x0∈[0,1]使得不等式f(x0)-m≤0能成立,只需x∈[0,1]时,m≥f(x)min.
求导得f′(x)=2(1+x)-[2/1+x],定义域为(-1,+∞),
∵当x∈(-1,0)时,f′(x)<0,∴函数f(x)在区间(-1,0)上是减函数;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,∴函数f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.
∴f(x)min=f(0)=1,∴m≥1.故实数m的最小值为1.
(2)关于x的方程f(x)=x2+x+a在[0,2]上恰有两个相异实根,即方程1+x-2ln(1+x)=a在区间[0,2]上恰有两个相异实根.
设h(x)=(1+x)-2ln(1+x),则h′(x)=[x−1/x+1]
由h′(x)>0,得x>1或x<-1(舍去);由h′(x)<0,得-1<x<1.
∴h(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增.
∵h( )>h(2),且h(x)在[0,2]上连续
∴方程1+x-2ln(1+x)=a在区间[0,2]上恰有两个相异实根时,h(1)<a≤h(2)
∴2-2ln2<a≤3-2ln3,
∴实数a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3).
点评:
本题考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;根的存在性及根的个数判断.
考点点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性,本题比较新颖的地方是,求解(2)中的a的取值范围,经过等价变换,只需求h(x)=(1+x)-2ln(1+x)的值域,从而解出a的取值范围.
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已知函数f(x)=ax 2 +2ln(1-x)(a为常数).
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