f(x) |
x |
1 |
e |
晒月光的土豆 幼苗
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f(x) |
x |
1 |
e |
1 |
e |
x1+x2 |
x1 |
x1+x2 |
x2 |
(1)f'(x)=2xln(ax)+x(1分)f'(x)=2xln(ax)+x≤x2,即2ln(ax)+1≤x在x>0上恒成立
设u(x)=2ln(ax)+1-x,u′(x)=
2
x−1=0,x=2,x>2时,单调减,
x<2单调增,所以x=2时,u(x)有最大值u(2)(3分)
u(2)≤0,2ln2a+1≤2,所以0<a≤
e
2(5分)
(2)当a=1时,g(x)=
f(x)
x=xlnx,g′(x)=1+lnx=0,x=[1/e],
所以在(
1
e,+∞)上g(x)是增函数,(0,
1
e)上是减函数(6分)
因为
1
e<x1<x1+x2<1,所以g(x1+x2)=(x1+x2)ln(x1+x2)>g(x1)=x1lnx1
即lnx1<
x1+x2
x1ln(x1+x2)
同理lnx2<
x1+x2
x2ln(x1+x2)(8分)
所以lnx1+lnx2<(
x1+x2
x2+
x1+x2
x1)ln(x1+x2)=(2+
x1
x2+
x2
x1)ln(x1+x2)
又因为2+
x1
x2+
x2
x1≥4,当且仅当“x1=x2”时,取等号(10分)
又x1,x2∈(
1
e,1),x1+x2<1,ln(x1+x2)<0(11分)
所以(2+
x1
x2+
x2
x1)ln(x1+x2)≤4ln(x1+x2)
所以lnx1+lnx2<4ln(x1+x2)
所以:x1x2<(x1+x2)4(12分)
点评:
本题考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于基础题.
1年前
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