已知数列{an}满足a1=2，10an+1-9an-1=0，bn＝910(n+2)(an−1)．

解题思路：（1）对递推式10a_n+1-9a_n-1=0，变形整理可得

an+1−1

an−1

＝

9 10 an+ 1 10 −1

an−1

＝

9

10

，由此可证结论；
（2）确定a_n-1=(

9

10

)n−1，可得b_n的表达式，确定当n=7时，b₈=b₇；当n＜7时，

bn+1

bn

＞1，b_n+1＞b_n；当n＞7时，

bn+1

bn

＜1，b_n+1＜b_n，从而可得结论；
（3）

tm

bm

＜

tm+1

bm+1

，得tm[

1

m+2

−

10t

9(m+3)

]＜0对任意m∈N^*恒成立，对t分类讨论．当t＞0时，由t^m＞0（m∈N^*），分离参数可得t＞

9(m+3)

10(m+2)

，确定右边的最大值，即可求得实数t的取值范围．

（1）证明：∵10a_n+1-9a_n-1=0，
∴an+1＝
9
10an+
1
10．
∴
an+1−1
an−1＝

9
10an+
1
10−1
an−1＝
9
10，
∵a₁=2，
∴{a_n-1}是以a₁-1=1为首项，公比为[9/10]的等比数列．
（2）由（ 1），可知a_n-1=(
9
10)n−1（n∈N^*）．
∴bn＝
9
10(n+2)(an−1)＝(n+2)(
9
10)n，
bn+1
bn＝
(n+3)(
9
10)n+1
(n+2)(
9
10)n＝
9
10(1+
1
n+2)．
当n=7时，
b8
b7＝1，b₈=b₇；当n＜7时，
bn+1
bn＞1，b_n+1＞b_n；当n＞7时，
bn+1
bn＜1，b_n+1＜b_n．
∴当n=7或n=8时，b_n取最大值，最大值为b7＝b8＝
98
107．
（3）由
tm
bm＜

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合．

考点点评： 本题考查数列与不等式的综合，考查等比数列的证明，考查数列的最大值，考查恒成立问题，综合性强，属于中档题．