一个正整数除以5，7，9及11的余数依次是1，2，3，4．求满足上述条件的最小的正整数．

解题思路：分别计算7×9×11除以5的余数，扩大二倍后除以5的余数、5×9×11除以7的余数，扩大6倍后除以7的余数、5×7×11除以9的余数，扩大3倍后除以9的余数、5×7×9=315除以11的余数，扩大10倍后除以11的余数，从而求出满足题意的数8661，再根据 5，7，9，11的最小公倍数是3465，可求出最小符合题意的正整数．

用剩余定理：7×9×11=693，除以5余3，扩大2倍为1386，除以5余1；
5×9×11=495，除以7余5，扩大6倍为2970，除以7余2；
5×7×11=385，除以9余7，扩大3倍为1155，除以9余3；
5×7×9=315，除以11余7，扩大10倍为3150，除以11余4；
1386+2970+1155+3150=8661，满足题目要求．
5，7，9，11的最小公倍数是3465，则8661加上3465的整数倍的所有数字均满足题目要求，
其中最小的正整数为：8661-2×3465=1731．

点评：
本题考点： 带余除法．

考点点评： 本题考查了带余数的除法运算，属于竞赛性题目，难度较大，关键是剩余定理的熟练掌握与运用及最小公倍数的求法．