如图,设I是△ABC的内心（三条角平分线的交点）,AI的延长线交边BC于点D,交△ABC的外接圆于点E,

做出来啦!
内角平分线定理：AI/ID=AB/BD
又∠EBC=∠EAC=∠EAB,故△ABE相似△BDE
AB/BD=AE/BE
∠EBI=∠IBC+∠CBE=∠ABC/2+∠BAC/2=∠BIE
故BE=IE=4(这个结论需牢记)
AI/ID=AE/BE
4/(4-DE)=8/4
DE=2

关于内心与外接圆,有更为经典的题目,
我强烈建议你做一做,一定大有裨益.
顺便说一下：
下面郭老的做法是不正确的
AE=2IE得出△ABC为等边△,明显是无稽之谈.
有经典反例
AB=3,BC=4,AC=5,同样有AE=2IE,便是反例.
如下图所示：
不懂的话欢迎追问!

郭敦顒回答：
只当△ABC为等边△时所给条件IE=4，AE=8，才成立，此时△ABC的内心、外心（另重心与垂心）合一，故有
IA=IB=IC=IE，AE=2IE，
在Rt⊿BDI中，∠IBD=30°，∴ID=IB/2，∴ID=DE=IE/2，
∴若IE=4，AE=8，则DE= IE/2=2，
线段DE的长是（2）。