（2011•常德）已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O 1 ，O 2 ，P是AB的中点，
| （2011•常德）已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O 1 ，O 2 ，P是AB的中点， （1）如图1，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在  ， 上分别取点E、F，使∠AO 1 E=∠BO 2 F ，则有结论①△PO 1 E≌△FO 2 P，②四边形PO 1 CO 2 是菱形，请给出结论②的证明；（2）如图2，若（1）中△ABC是任意三角形，其他条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明； （3）如图3，若PC是⊙O 1 的切线，求证：AB 2 =BC 2 +3AC 2 ．  |
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（1））∵P、O 1 、O 2 分别为AB、AC、BC的中点，
∴AP=BP，AO 1 =BO 2 ，PO 1
BC，PO 2 AC，
∴四边形PO 1 CO 2 是平行四边形，
∵AC=BC，∴PO 1 =PO 2 ，
∴四边形PO 1 CO 2 是菱形；
（2）∵P、O 1 、O 2 分别为AB、AC、BC的中点，∴AP=BP，AO 1 =BO 2 ，PO 1 BC，PO 2 AC，
即PO 1 =BO 2 ，AO 1 =PO 2 ，
∴△APO 1 ≌△BPO 2 ；
（3）直角三角形APC中，设AP=c，AC=a，PC=b，
∴c 2 =a 2 +b 2 ；AB 2 =4c 2 =4（a 2 +b 2 ），
过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点．
∴CD=a，BD=2b，BC 2 =a 2 +4b 2 ，
∴BC 2 +3AC 2 =a 2 +4b 2 +3a 2 =4（a 2 +b 2 ），
∴AB 2 =BC 2 +3AC 2 ．
略
∴AP=BP，AO 1 =BO 2 ，PO 1
BC，PO 2 AC，∴四边形PO 1 CO 2 是平行四边形，
∵AC=BC，∴PO 1 =PO 2 ，
∴四边形PO 1 CO 2 是菱形；
（2）∵P、O 1 、O 2 分别为AB、AC、BC的中点，∴AP=BP，AO 1 =BO 2 ，PO 1
BC，PO 2 AC，即PO 1 =BO 2 ，AO 1 =PO 2 ，
∴△APO 1 ≌△BPO 2 ；
（3）直角三角形APC中，设AP=c，AC=a，PC=b，
∴c 2 =a 2 +b 2 ；AB 2 =4c 2 =4（a 2 +b 2 ），
过点B作AC的垂线，交AC的延长线于D点．
∴CD=a，BD=2b，BC 2 =a 2 +4b 2 ，
∴BC 2 +3AC 2 =a 2 +4b 2 +3a 2 =4（a 2 +b 2 ），
∴AB 2 =BC 2 +3AC 2 ．
略
1年前
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