定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数
定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．
已知函数f（x）=1+a•(
)x+(
)x，
（1）当a=-[1/2]时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
已知函数f（x）=1+a•(
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（1）当a=-[1/2]时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
赞 觅星 幼苗
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解题思路：（1）把a=-[1/2]代入函数的表达式，得出函数的单调区间，结合有界函数的定义进行判断；
（2）由题意知，|f（x）|≤4对x∈[0，+∞）恒成立．令t＝(
)x，−(t+
)≤a≤
−t对t∈（0，1]恒成立，设h(t)＝−(t+
)，p(t)＝
−t，求出单调区间，得到函数的最值，从而求出a的值．
（2）由题意知，|f（x）|≤4对x∈[0，+∞）恒成立．令t＝(
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| t |
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（1）当a＝−
1
2时，f(x)＝1−
1
2(
1
3)x+(
1
9)x，令t＝(
1
3)x，
∵x＜0，∴t＞1，y＝1−
1
2t+t2；
∵y＝1−
1
2t+t2在（1，+∞）上单调递增，
∴y＞
3
2，即f（x）在（-∞，1）的值域为(
3
2，+∞)，
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，
∴函数f（x）在（-∞，0）上不是有界函数；
（2）由题意知，|f（x）|≤4对x∈[0，+∞）恒成立．
即：-4≤f（x）≤4，令t＝(
1
3)x，
∵x≥0，∴t∈（0，1]
∴−(t+
5
t)≤a≤
3
t−t对t∈（0，1]恒成立，
∴[−(t+
5
t)]max≤a≤(
3
t−t)min，
设h(t)＝−(t+
5
t)，p(t)＝
3
t−t，由t∈（0，1]，
由于h（t）在t∈（0，1]上递增，P（t）在t∈（0，1]上递减，
H（t）在t∈（0，1]上的最大值为h（1）=-6，
P（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=2
∴实数a的取值范围为[-6，2]．
点评：
本题考点： 函数的值域．
考点点评： 本题考查了函数的值域问题，考查了新定义问题，考查了函数的单调性，函数的最值问题，是一道综合题．
1年前
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