对于函数y=f（x）和其定义域的子集D，若存在常数M，使得对于任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，满足等式f(x1)+f

解题思路：首先分析题目求对于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

＝

1

2

成立的函数．
对于函数①y＝(

1

2

)x，可直接取任意的x₁∈（0，+∞），验证即可；
对于函数②y＝

1

x+1

，可直接取任意的x₁∈（0，+∞），验证求出唯一的 x₂=4-x₁，即可得到成立．故②对．
对于函数③y=-x²+1，特殊值法代入验证不成立成立．即可得到答案．
对于函数④y=log₂x，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然成立．

对于函数①y＝(
1
2)x；定义域为（0，+∞），值域为0＜y＜1．对于∀x₁∈（0，+∞），∃x₂∈（0，+∞）．使
f(x1)+f(x2)
2＝
1
2成立，故①对．
对于函数②y＝
1
x+1，可直接取任意的x₁∈R，验证求出唯一的x₂=[1
x1，即可得到成立．故②对．
对于函数③y=-x²+1，取任意的x₁∈R，
f(x1)+f(x2)/2＝

x21+
x22
2]=[1/2]，x2＝±
1−
x21，可以两个的x₂∈D．故不满足条件．
对于函数④y=log₂x，定义域为x＞0，值域为R且单调，显然必存在唯一的x₂∈D，使
f(x1)+f(x2)
2＝
1
2成立．故成立．
故答案为：①②④

点评：
本题考点： 函数与方程的综合运用．

考点点评： 此题主要应用新定义的方式考查平均值不等式在函数中的应用．对于新定义的问题，需要认真分析定义内容，切记不可偏离题目．