（2011•朝阳区一模）如图，P为△ABC的边BC上的任意一点，设BC=a，
（2011•朝阳区一模）如图，P为△ABC的边BC上的任意一点，设BC=a，当B1、C1分别为AB、AC的中点时，B1C1=
| 1 |
| 2 |
当B2、C2分别为BB1、CC1的中点时，B2C2=
| 3 |
| 4 |
当B3、C3分别为BB2、CC2的中点时，B3C3=
| 7 |
| 8 |
当B4、C4分别为BB3、CC3的中点时，B4C4=
| 15 |
| 16 |
当B5、C5分别为BB4、CC4的中点时，B5C5=
| 31 |
| 32 |
| 31 |
| 32 |
…
当Bn、Cn分别为BBn-1、CCn-1的中点时，则BnCn=
| 2n−1 |
| 2n |
| 2n−1 |
| 2n |
设△ABC中BC边上的高为h，则△PBnCn的面积为
| 2n−1 |
| 22n+1 |
| 2n−1 |
| 22n+1 |
赞 飘伶蝶 幼苗
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解题思路：设AB=b，则AB1=12b，AB2=（12+122）b=22−122b，AB3=（12+122+123）b=23−123b，由此可得AB5=（12+122+123+124+125）b=25−125b，ABn=（12+122+123+…+12n）b=2n−12nb，即ABnAB=2n−12n，再利用三角形相似求BnCn及△PBnCn的面积．
设AB=b，∵B5C5∥BC，∴△AB5C5∽△ABC，∴
B5C5
BC=
AB5
AB，
B5C5=
BC
AB•AB5=
a
b•
25−1
25b=
31
32a，
同理可得△ABnCn∽△ABC，
∴
BnCn
BC=
ABn
AB，
BnCn=
BC
AB•ABn=
a
b•
2n−1
2nb=
2n−1
2na，
设△ABnCn中BnCn边上的高为hn，则
hn
h=
BnCn
BC，即hn=
2n−1
2nh，
∴S△PBnCn=
1
2BnCn•（h-hn）=
2n−1
22n+1ah．
故答案为：
31
32a，
2n−1
2na，
2n−1
22n+1ah．
点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；梯形中位线定理．
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你能帮帮他们吗