（2014•丰南区二模）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知A

（2014•丰南区二模）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=5．
（1）试说明AE²+CF²的值是一个常数；
（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时，线段DM最长？并求出此时DM的值．
（3）在（2）的情况下，BC边上是否存在一点N，使△PMN的周长最短？若不存在说明理由；若存在，请确定点N距点B的距离．

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zhuyongli123456 幼苗

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解题思路：（1）根据正方形的性质得AB=BC=AD=5，∠ABC=90°，再利用等角的余角相等得到∠ABE=∠BCF，于是可根据“AAS”判断△ABE≌△BCF，则CF=BE，在Rt△ABE中，根据勾股定理得AE²+BE²=AB²=5²，所以AE²+CF²=25；
（2）设AP=x，则PD=5-x，先证明Rt△PDM∽Rt△BAP，利用相似比得DM=-

1/5]x²+x，然后配方得DM=-[1/5]（x-[5/2]）²+[5/4]，所以当x=[5/2]时，DM最大，最大值为[5/4]；
（3）延长DC到Q使CQ=CM，连接PQ交BC于N，连接MN，如图1，MC=DC-DM=[15/4]，CQ=[15/4]，且△PMN的周长=PM+MN+PN，而PM为定值，所以MN+PN最小时，△PMN的周长最小，由于CQ=CM，NC⊥MQ，得到NC为MQ的中垂线，则NQ=NM，得到MN+PN=NQ+PN=PQ，此时MN+PN最小，△PMN的周长最小，再证明△QCN∽△QDP，利用相似比计算出NC=[15/14]，然后利用BN=BC-CN求解．

（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=AD=5，∠ABC=90°，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△ABE和△BCF中

∠AEB=∠BFC
∠ABE=∠BCF
AB=BC，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴CF=BE，
在Rt△ABE中，
∵AE²+BE²=AB²=5²，
∴AE²+CF²=25，即AE²+CF²的值是一个常数；
（2）设AP=x，则PD=5-x，
∵PM∥FC，
∴PM⊥BP，
∴∠APB+∠DPM=90°，
而∠APB+∠ABP=90°，
∴Rt△PDM∽Rt△BAP，
∴[DM/AP]=[PD/AB]，即[DM/x]=[5-x/5]，
∴DM=-[1/5]x²+x=-[1/5]（x-[5/2]）²+[5/4]，
∵-[1/5]（x-[5/2]）²≤0，
∴当x=[5/2]时，DM最大，最大值为[5/4]，
即点P在AD的中点位置时，线段DM最长，此时DM的值为[5/4]；
（3）存在．
延长DC到Q使CQ=CM，连接PQ交BC于N，连接MN，如图1，
PD=[5/2]，DM=[5/4]，MC=DC-DM=[15/4]，则CQ=[15/4]
△PMN的周长=PM+MN+PN，而PM为定值，则MN+PN最小时，△PMN的周长最小，
∵CQ=CM，NC⊥MQ，
∴NC为MQ的中垂线，
∴NQ=NM，
∴MN+PN=NQ+PN=PQ，此时MN+PN最小，△PMN的周长最小，
∵NC∥PD，
∴△QCN∽△QDP，
∴[NC/PD]=[QC/QD]，即[NC

点评：
本题考点：四边形综合题．

考点点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质和轴对称的性质；会利用勾股定理和相似比进行几何计算；会运用两点之间线段最短和二次函数的性质数学问题的最值问题．

1年前

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