方程2x2+5xy+2y2=2007的所有不同的整数解共有 ______组．

解题思路：由（2x+y）（x+2y）=669×3=（-669）×（-3）=223×9=（-223）×（-9），从而得出2x+y与x+2y由4种情形，计算得出答案．

2x²+5xy+2y²=2007，（2x+y）（x+2y）=669×3=（-669）×（-3）=223×9=（-223）×（-9），
∴2x+y=669和x+2y=3，x=445，y=-221；
2x+y=-669和x+2y=-3，x=-445，y=221；
2x+y=3和x+2y=669，x=-221，y=445；
2x+y=-3和x+2y=-669，x=221，y=-445；
∴以上共有4组整数解，
2x+y=223和x+2y=9，2x+y=-223和x+2y=-9，2x+y=9和x+2y=223，2x+y=-9和x+2y=-223，这4组的解都不是整数．
故答案为：4．

点评：
本题考点： 非一次不定方程（组）．

考点点评： 本题考查了一元二次方程的整数根和有理根，虽是竞赛题，但难度不大．

2组
因为2X^2+5XY+2Y^2=2007
2X^2+5XY+2Y^2=((2X+Y)(X+2Y)=2007
整数解只有3*669 9*221=2007
所以只有二组.

2X^2+5XY+2Y^2=2007
(2X+Y)(X+2Y) = 2007 =3*3*223
所以，方程2X^2+5XY+2Y^2=2007的整数解有如下10组：
1.
2X+Y=1且X+2Y=2007
解得，X,Y是分数，不合题意，舍去。
2.
2X+Y=-1且X+2Y=-2007
解得，X,Y是分数，不合题意，舍去。
3...

(2x+y)(x+2y)=2007
2007=1*3*3*223
(1)(2x+y)(x+2y)=1*2007
2x+y=1，x+2y=2007
3x+3y=2008，x+y不为整数，舍去
同理2x+y=-1，x+2y=-2007；2x+y=2007，x+2y=1；2x+y=-1，x+2y=-2007也不符题意，舍去
(2)(2x+y)(x+2y)=...

咋算