如图所示,在平面直角坐标系xoy中,正方形OABC的边长为2cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线 经

（1）抛物线的解析式为： ;
（2）①S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t ² ﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;
②存在.R点的坐标是（3,﹣ ）;
（3）M的坐标为（1,﹣ ）．


试题分析：（1）设抛物线的解析式是y=ax ² +bx+c,求出A、B、D的坐标代入即可;
（2）①由勾股定理即可求出;②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形,求出P、Q的坐标,再分为两种种情况：A、B、C即可根据平行四边形的性质求出R的坐标;
（3）A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,求出直线BD的解析式,把抛物线的对称轴x=1代入即可求出M的坐标．
试题解析：（1）设抛物线的解析式是y=ax ² +bx+c,
∵正方形的边长2,
∴B的坐标（2,﹣2）A点的坐标是（0,﹣2）,
把A（0,﹣2）,B（2,﹣2）,D（4,﹣ ）代入得： ,
解得a= ,b=﹣ ,c=﹣2,
∴抛物线的解析式为： ,
答：抛物线的解析式为： ;
（2）①由图象知：PB=2﹣2t,BQ=t,
∴S=PQ ² =PB ² +BQ ² ,
=（2﹣2t） ² +t ² ,
即S=5t ² ﹣8t+4（0≤t≤1）．
答：S与运动时间t之间的函数关系式是S=5t ² ﹣8t+4,t的取值范围是0≤t≤1;
②假设存在点R,可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形．
∵S=5t ² ﹣8t+4（0≤t≤1）,
∴当S= 时,5t ² ﹣8t+4= ,得20t ² ﹣32t+11=0,
解得t= ,t= （不合题意,舍去）,
此时点P的坐标为（1,﹣2）,Q点的坐标为（2,﹣ ）,
若R点存在,分情况讨论：
（i）假设R在BQ的右边,如图所示,这时QR=PB,RQ∥PB,
则R的横坐标为3,R的纵坐标为﹣ ,
即R（3,﹣ ）,
代入 ,左右两边相等,
∴这时存在R（3,﹣ ）满足题意;

（ii）假设R在QB的左边时,这时PR=QB,PR∥QB,
则R（1,﹣ ）代入, ,
左右不相等,∴R不在抛物线上．（1分）
综上所述,存点一点R（3,﹣ ）满足题意．
答：存在,R点的坐标是（3,﹣ ）;
（3）如图,M′B=M′A,

∵A关于抛物线的对称轴的对称点为B,过B、D的直线与抛物线的对称轴的交点为所求M,
理由是：∵MA=MB,若M不为L与DB的交点,则三点B、M、D构成三角形,
∴|MB|﹣|MD|＜|DB|,
即M到D、A的距离之差为|DB|时,差值最大,
设直线BD的解析式是y=kx+b,把B、D的坐标代入得： ,
解得：k= ,b=﹣ ,
∴y= x﹣ ,
抛物线 的对称轴是x=1,
把x=1代入得：y=﹣