已知函数f(x)=lnax(a≠0,a∈R),g(x)=x−1x.

已知函数f(x)=lnax(a≠0,a∈R),g(x)=
x−1
x

(Ⅰ)当a=3时,解关于x的不等式:1+ef(x)+g(x)>0;
(Ⅱ)若f(x)≥g(x)(x≥1)恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)当a=1时,记h(x)=f(x)-g(x),过点(1,-1)是否存在函数y=h(x)图象的切线?若存在,有多少条?若不存在,说明理由.
ak47m16 1年前 悬赏5滴雨露 已收到1个回答 我来回答 举报

绛雪飞鸿 幼苗

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解题思路:(I)把a=3代入化简后不等式易解;
(Ⅱ)把恒成立问题转化为函数的最值来求解;
(Ⅲ)设出切点,用导数工具刻画出函数的单调性和关键点,进而得出切线的情况.

(I)当a=3时,原不等式可化为:1+eln3x+[x−1/x]>0;
等价于

1+3x+
x−1
x>0
3x>0,解得x>
1
3,
故解集为(
1
3,+∞)
(Ⅱ)∵lnax≥
x−1
x对x≥1恒成立,所以lna+lnx≥
x−1
x⇒lna≥1−
1
x−lnx,
令h(x)=1−
1
x−lnx,h′(x)=
1
x2−
1
x≤0(x≥1),可得h(x)在区间[1,+∞)上单调递减,
故h(x)在x=1处取到最大值,故lna≥h(1)=0,可得a=1,
故a的取值范围为:[1,+∞)
(Ⅲ)假设存在这样的切线,设切点T(x0,lnx0−
x0−1
x0),
∴切线方程:y+1=
x0−1
x02(x−1),将点T坐标代入得:lnx0−
x0−1
x0+1=
(x0−1)2
x02
即lnx0+
3
x0−
1
x02−1=0,①
设g(x)=

点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题;其他不等式的解法.

考点点评: 本题为函数与导数的综合,涉及不等式的解法和函数恒成立问题以及切线问题,属中档题.

1年前

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