x−1 |
x |
绛雪飞鸿 幼苗
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(I)当a=3时,原不等式可化为:1+eln3x+[x−1/x]>0;
等价于
1+3x+
x−1
x>0
3x>0,解得x>
1
3,
故解集为(
1
3,+∞)
(Ⅱ)∵lnax≥
x−1
x对x≥1恒成立,所以lna+lnx≥
x−1
x⇒lna≥1−
1
x−lnx,
令h(x)=1−
1
x−lnx,h′(x)=
1
x2−
1
x≤0(x≥1),可得h(x)在区间[1,+∞)上单调递减,
故h(x)在x=1处取到最大值,故lna≥h(1)=0,可得a=1,
故a的取值范围为:[1,+∞)
(Ⅲ)假设存在这样的切线,设切点T(x0,lnx0−
x0−1
x0),
∴切线方程:y+1=
x0−1
x02(x−1),将点T坐标代入得:lnx0−
x0−1
x0+1=
(x0−1)2
x02
即lnx0+
3
x0−
1
x02−1=0,①
设g(x)=
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题;其他不等式的解法.
考点点评: 本题为函数与导数的综合,涉及不等式的解法和函数恒成立问题以及切线问题,属中档题.
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