已知函数f（x）=lnax-[x−a/x]（a≠0）

（Ⅰ）由题意f′(x)＝
x−a
x2．…（1分）
当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，
故fmin(x)＝f(a)＝lna2，无最大值． …（3分）
当a＜0时，函数f（x）的定义域为（-∞，0），此时函数在（-∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数，
故fmin(x)＝f(a)＝lna2，无最大值．…（5分）
（Ⅱ）证明：取a=2，由（Ⅰ）可知：f(x)＝ln2x−
x−2
x≥f(2)＝2ln2，
故[2/x≥1+ln4−ln2x＝ln
2e
x]，∴[1/x≥
1
2ln
2e
x]，（x＞0）
取x=1，2，3…，n，则1+
1
2+
1
3+…+
1
n≥
1
2ln
(2e)n
n!．…（10分）
（Ⅲ）假设存在这样的切线，设其中一个切点T（x0，lnx0−
x0−1
x0），
∴切线方程：y+1=
x0−1
x02(x−1)，将点T坐标代入得：lnx0−
x0−1
x0+1＝
(x0−1)2
x02，
即lnx0+
3
x0−
2
x02−1＝0，…①
设g（x）=lnx+[3/x−
1
x2−1，则

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查曲线的切线方程，考查学生分析解决问题的能力，难度大．

1年前

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