已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正数，数列{yn}满足yn=2logaxn（a＞0且a≠1），设y3=19，y6=

（Ⅰ）设数列{x_n}的公比为q，则xn＝x1qn−1，
∴y_n=2log_ax_n=2logax1qn−1=2log_ax₁+2（n-1）log_aq，
∴y_n-1-y_n=2log_ax₁+2nlog_aq-[2log_ax₁+2（n-1）log_aq]=2log_aq为常数，
∴{y_n}是等差数列，
设公差为d，由

y3＝y1+2d＝19
y6＝y1+5d＝13，解得y₁=23，d=-2，
∴y_n=23+（n-1）•（-2）=25-2n，
设{y_n}的前n项和为T_n，
T_n=
n(23+25−2n)
2=-n²+24n
=-（n-12）²+144，
∴当n=12时，前12项和最大，最大值为144．
（Ⅱ）∵b_n=2yn=2^25-2n，
∴
bn+1
bn＝
1
4，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=
223(1−
1
4n)
1−
1
4=
225
3（1-[1
4n）．
（Ⅲ）∵y_n=2log_ax_n，∴x_n=a
yn/2]，
又∵y_n=25-2n，∴n＞12时，y_n＜0恒成立，
当0＜a＜1时，a
yn
2＝a12.5−n，
在R上是减函数，为此当n＞12时，xn＝a
yn
2=a^12.5-n＜a⁰=1，
∴当0＜a＜1时，存在M=12，使得当n＞M时，x_n＞1恒成立；
当a＞1时，不存在正整数M，使得n＞M时，x_n＞1恒成立．

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等比数列的性质．

考点点评： 本题考查数列的前n项和最大值的求法，考查满足条件的正整数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用．

1年前

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