已知数列{xn}中，x1，x5是方程log22x-8log2x+12=0的两根，等差数列{yn}满足yn=log2xn，

解题思路：（1）由x₁，x₅是方程log₂²x-8log₂x+12=0的两根，等差数列{y_n}满足y_n=log₂x_n，且其公差为负数，能够推导出y₁=log₂x₁=6，y₅=log₂x₅=2，y_n=7-n．
（2）由y_n=log₂x_n=7-n，y_n+1=log₂x_n+1=6-n，知

xn+1

xn

＝

26−n

27−n

＝

1

2

，由此能够证明数列{x_n}为等比数列．
（3）Sn＝

26(1− 1 2n )

1− 1 2

＝128(1−

1

2n

)＜128

lim

n→∞

Sn＝128，由此能求出a的取值范围．

（1）∵x₁，x₅是方程log₂²x-8log₂x+12=0的两根，
∴log₂x₁+log₂x₅=8，log₂x₁•log₂x₅=12，
∵等差数列{y_n}满足y_n=log₂x_n，且其公差为负数，
∴log₂x₁=6，log₂x₅=2．
y₁=log₂x₁=6，y₅=log₂x₅=2，y_n=7-n．
（2）∵y_n=log₂x_n=7-n，y_n+1=log₂x_n+1=6-n
∴
xn+1
xn＝
26−n
27−n＝
1
2，
∴数列{x_n}为等比数列．
（3）Sn＝
26(1−
1
2n)
1−
1
2＝128(1−
1
2n)＜128
lim
n→∞Sn＝128，
故所求a的取值范围为a≥128．

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；根与系数的关系；函数恒成立问题；等差数列的通项公式；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查通项公式的求法、等比数列的证明和实数a的取值的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．