已知数列{xn}，{yn}满足x1=y1=1，x2=y2=2，并且xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0，yn+1-（
已知数列{xn}，{yn}满足x1=y1=1，x2=y2=2，并且xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0，yn+1-（λ+1）yn+λyn-1≥0（λ为非零参数，n=2，3，4，…）．
（1）若x1，x3，x5成等比数列，求参数λ的值；
（2）当λ＞0时，证明xn+1-yn+1≤xn-yn（n∈N*）；
（3）设0＜λ＜1，k∈N*，证明：（x2-x1）+（x4-x2）+（x6-x3）+…+（x2k-xk）＜
(k∈N*)．
（1）若x1，x3，x5成等比数列，求参数λ的值；
（2）当λ＞0时，证明xn+1-yn+1≤xn-yn（n∈N*）；
（3）设0＜λ＜1，k∈N*，证明：（x2-x1）+（x4-x2）+（x6-x3）+…+（x2k-xk）＜
| 1 |
| (1−λ)2 |
赞 木木84 幼苗
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解题思路：（1）利用x1=1，x2=2，xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0，即可得到x3，x4，x5，再利用等比数列的定义即可得出λ的值；
（2）利用数学归纳法证明即可；
（3）由xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0，可得xn+1-xn=λ（xn-xn-1），即xn−xn−1＝(x2−x1)•λn−2＝λn−2，利用“累加求和”可得xn，再利用等比数列的前n项和公式即可得出不等式的左边，进而证明小于右边．
（2）利用数学归纳法证明即可；
（3）由xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0，可得xn+1-xn=λ（xn-xn-1），即xn−xn−1＝(x2−x1)•λn−2＝λn−2，利用“累加求和”可得xn，再利用等比数列的前n项和公式即可得出不等式的左边，进而证明小于右边．
（1）∵x1=1，x2=2，xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0，
∴x3=（λ+1）x2-λx1=2（λ+1）-λ=λ+2．
x4=（λ+1）（λ+2）-2λ=λ2+λ+2．
x5＝(λ+1)(λ2+λ+2)−λ(λ+2)=λ3+λ2+λ+2．
∵x1，x3，x5成等比数列，∴
x23＝x1•x5，
∴（λ+2）2=1×（λ2+λ+2），解得λ=-2．
（2）下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，x2-x1=2-1=y2-y1，∴x2-y2≤x1-y1成立；
②假设当n=k时，xk+1-xk≤yk+1-yk成立，即xk+1-yk+1≤xk-yk成立．
则当n=k+1时，∵λ＞0，∴xk+2-xk+1=λ（xk+1-xk）≤λ（yk+1-yk）≤yk+2-yk+1成立，
即xk+2-yk+2≤xk+1-yk+1成立．
即命题定义n=k+1时也成立．
综上可知：命题定义任意n∈N*都成立．
（3）由xn+1-（λ+1）xn+λxn-1=0，可得xn+1-xn=λ（xn-xn-1），
∴xn−xn−1＝(x2−x1)•λn−2＝λn−2，
∴xn=（xn-xn-1）+（xn-1-xn-2）+…+（x3-x2）+（x2-x1）+x1
=λn-2+λn-3+…+λ+1+1=
λn−1−1
λ−1+1．（0＜λ＜1）．
∴x2k＝
λ2k−1−1
λ−1+1．
∴x2k-xk=
λ2k−1−λk
λ−1
∴左边=（x2-x1）+（x4-x2）+（x6-x3）+…+（x2k-xk）
=[1/λ−1][（λ+λ3+…+λ2k-1）-（λ+λ2+…+λk）]
=[1/λ−1][
λ(λ2k−1)
λ2−1−
λk−1
λ−1]
=[1/1−λ]
(1−λk)(1−λk+1)
1−λ2
=[1
(1−λ)2•
(1−λk)(1−λk+1)/1+λ]＜
1
(1−λ)2．=右边．
故不等式成立．
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合．
考点点评： 熟练掌握等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、数学归纳法、“累加求和”等是解题的关键．
1年前
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