新的数学竞赛题3.△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC,点P在△ABC内,且PA=√3,PB=5,PC=2,求△A

3:设AC=x,则BC=根号3*x,AB=2x,运用海伦定理,即
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假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2
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用pab+pac+pbc=abc的面积可知,x的值.
4：设一元二次方程x²+cx+c=0的两个整数根为x1,x2,则x1+x2=-x1*x2,即为(x1+1)(x2+1)=1,因为x1,x2均为整数,所以x1=x2=-2,所以a+b+c=6+9+4=19.
或者x1=x2=0,所以 a+b+c=2+1+0=3
5.设BC=x,AC=y,则根据相似三角形,可知AE=12*35/x,EB=12*35/y,所以可列出12/x+12/y=1.(1)
因为x^2+y^2=35^2.(2)
可解得x,y的值.

利用海伦公式S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)/2

3.几何做法：在三角形外取点Q，使得△ACQ∽△ABP，可得：
PQ=3/2，△CPQ是直角三角形：CQ=5/2，CP=4/2，PQ=3/2；
△APQ也是直角三角形，三个角分别为30°，60°，90°；
△ABC∽△APQ，AC可在△APC中由余弦定理求出，进一步可求出△ABC面积