∫√(2-x²) dx 积分区间0 √2
∫√(2-x²) dx 积分区间0 √2
∫1/{√(1-x) -1}dx 积分区间3/4 1
∫1/｛e^x+e^(-x)｝dx 积分区间0 正无穷
∫1/{√(1-x) -1}dx 积分区间3/4 1
∫1/｛e^x+e^(-x)｝dx 积分区间0 正无穷
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∫(2-x²)dx
=[2x-(1/3)x³]|
=(2√2-(1/3)*2√2]-(0-0)
=2√2-(2/3)√2
=(4/3)√2
∫1/[√(1-x)-1]dx
令√(1-x)=t ==> 1-x=t² ==> x=1-t² ==> dx=-2tdt
且,x=3/4时,t=1/2；x=1时,t=0
原式=∫[-2t/(t-1)]dt
=2∫[t/(t-1)]dt
=2∫[(t-1)+1]/(t-1)dt
=2∫[1+1/(t-1)]dt
=2t|+2∫[1/(t-1)]dt
=2[(1/2)-0]+2ln|t-1||
=1+2[ln(1/2)-0]
=1-2ln2
∫1/[e^x+e^(-x)]dx
=∫e^x/[(e^x)²+1]dx
=∫[1/(e^x)²+1]d(e^x)
=arctan(e^x)|
=limarctana-arctan1
=(π/2)-(π/4)
=π/4
=[2x-(1/3)x³]|
=(2√2-(1/3)*2√2]-(0-0)
=2√2-(2/3)√2
=(4/3)√2
∫1/[√(1-x)-1]dx
令√(1-x)=t ==> 1-x=t² ==> x=1-t² ==> dx=-2tdt
且,x=3/4时,t=1/2；x=1时,t=0
原式=∫[-2t/(t-1)]dt
=2∫[t/(t-1)]dt
=2∫[(t-1)+1]/(t-1)dt
=2∫[1+1/(t-1)]dt
=2t|+2∫[1/(t-1)]dt
=2[(1/2)-0]+2ln|t-1||
=1+2[ln(1/2)-0]
=1-2ln2
∫1/[e^x+e^(-x)]dx
=∫e^x/[(e^x)²+1]dx
=∫[1/(e^x)²+1]d(e^x)
=arctan(e^x)|
=limarctana-arctan1
=(π/2)-(π/4)
=π/4
1年前 追问
10
对不起，我漏看了根号啦！
∫<0,√2>√(2-x²)dx
令x=√2sinα，α∈[0，π/2]
则，√(2-x²)=√(2-2sin²α)=√[2(1-sin²α)]=√[2cos²α]=√2cosα，dx=d(√2sinα)=√2cosαdα
所以，原式=∫<0,π/2>√2cosα*√2cosαdα
=∫<0,π/2>2cos²αdα
=∫<0,π/2>(cos2α+1)dα
=[(1/2)sin2α+α]|<0,π/2>
=[(1/2)(0-0)]+(π/2-0)]
=π/2
或者根据定积分的几何意义来求解！
已知x∈[0,√2]
又因为y=√(2-x²)≥0， ===> x²+y²=2
它表示的是圆x²+y²位于第一象限部分的面积，即∫<0,√2>√(2-x²)dx=(1/4)*π*(√2)²=π/2
∫<0,√2>√(2-x²)dx
令x=√2sinα，α∈[0，π/2]
则，√(2-x²)=√(2-2sin²α)=√[2(1-sin²α)]=√[2cos²α]=√2cosα，dx=d(√2sinα)=√2cosαdα
所以，原式=∫<0,π/2>√2cosα*√2cosαdα
=∫<0,π/2>2cos²αdα
=∫<0,π/2>(cos2α+1)dα
=[(1/2)sin2α+α]|<0,π/2>
=[(1/2)(0-0)]+(π/2-0)]
=π/2
或者根据定积分的几何意义来求解！
已知x∈[0,√2]
又因为y=√(2-x²)≥0， ===> x²+y²=2
它表示的是圆x²+y²位于第一象限部分的面积，即∫<0,√2>√(2-x²)dx=(1/4)*π*(√2)²=π/2
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