dfzx 幼苗
共回答了21个问题采纳率:90.5% 举报
(1)证明:如图1,连接OA.
∵在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠C=45°.
又∵点O是BC的中点,
∴OA=OC,∠EAO=∠C=45°.
∵∠EOF=90°,
∴∠AEO=∠B+∠BOE,∠CFO=180°-∠C-(180°-∠BOE-90°)=45°+∠BOE=∠B+∠BOE,
∴∠AEO=CFO,
在△AEO与△CFO中,
∠AEO=∠CFO
∠EAO=∠C
OA=OC,
∴△AEO≌△CFO(AAS),
∴AE=CF;
(2)选择小颖的方法.
证明:如图2,连接EF.
由折叠可知,∠BAD=∠FAD,AB=AF,BD=DF,
∵∠BAD=∠FAD,
∴由(1)可知,∠CAE=∠FAE.
在△AEF和△AEC中,
AF=AC
∠FAE=∠CAE
AE=AE,
∴△AEF≌△AEC(SAS),
∴CE=FE,∠AFE=∠C=45°.
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°.
在Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2,
∴BD2+CE2=DE2.
(3)当135°<α<180°时,等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立.证明如下:
如图4,按小颖的方法作图,设AB与EF相交于点G.
∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF,
∴AF=AB,∠AFD=∠ABD=135°,∠BAD=∠FAD.
又∵AC=AB,∴AF=AC.
又∵∠CAE=90°-∠BAE=90°-(45°-∠BAD)=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE.
∴∠CAE=∠FAE.
在△AEF和△AEC中,
AF=AC
∠FAE=∠CAE
AE=AE,
∴△AEF≌△AEC(SAS),
∴CE=FE,∠AFE=∠C=45°.
∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=∠135°-∠C=135°-45°=90°.
∴∠DFE=90°.
在Rt△DFE中,DF2+FE2=DE2,∴BD2+CE2=DE2.
点评:
本题考点: 几何变换综合题.
考点点评: 本题考查了角平分线的定义,等腰直角三角形的性质,旋转的性质,折叠对称的性质,全等三角形的判定和性质等知识点.
1年前
1年前1个回答