如图1，抛物线C1：y=ax2+bx+2与直线AB：y=[1/2]x+[1/2]交于x轴上的一点A，和另一点B（3，n）

解题思路：（1）把点A（-1，0）、B（3，2）代入抛物线y=ax²+bx+2求出a、b的值，故可得出抛物线的解析式；
（2）设AB交y轴于D，故可得出D点坐标，由此可得出OA，OD，AD的长，进而求出△AOD的周长，再根据PN∥y轴，可知∠PNM=∠CDN=∠ADO，由相似三角形的判定定理得出Rt△ADO∽Rt△PNM，故可得出

C△PNM

C△AOD

=[PN/AD]，用PN表示出△PMN的周长，故可得出当PN取最大值时，C_△PNM取最大值，设出PN两点的坐标，根据m的取值范围即可得出结论；
（3）设E（n，t），由题意得出抛物线C₁，C₂的解析式，再根据E在抛物线C₁上可得出t的表达式，由四边形DFEG为菱形可知DF=FE=EG=DG，连接ED，由抛物线的对称性可知，ED=EF，故△DEG与△DEF均为正三角形，故D为抛物线C₁的顶点，求出D点坐标，由DF∥x轴，且D、F关于直线x=n对称可得出DF的长，再根据△DEF为正三角形即可得出n的值，进而求出t的值，故可得出E点坐标．

（1）∵A（-1，0）、B（3，2）在抛物线y=ax²+bx+2上，
∴

a−b+2＝o
9a+3b+2＝2 ，
解得：

a＝−
1
2
b＝
3
2 ，
∴抛物线的解析式为y=-[1/2]x²+[3/2]x+2；

（2）∵设AB交y轴于D，则D（0，[1/2]），（如图1）
∴OA=1，OD=[1/2]，AD=

5
2，
∴C_△AOD=
3+
5
2，
∵PN∥y轴，
∴∠PNM=∠CDN=∠ADO，
∴Rt△ADO∽Rt△PNM．
∴

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等相关知识，难度较大．